ریاضی ششم

1- تعداد پاره خط های یک خط راست:

مثال:

- برای شمارش تعداد پاره خط های یک خط راست کافی است بین نقطه ها را شماره گذاری نموده و سپس اعداد را با هم جمع می کنیم.        

راه حل:                                        تعداد پاره خط ها                   21= 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

2- تعداد پاره خط های یک پاره خط:

- برای شمارش تعداد پاره خط های یک پاره خط کافی است بین نقطه ها را شماره گذاری نموده و سپس اعداد را با هم جمع می کنیم.          

مثال:

* راه حل:                          تعداد پاره خط ها                   28 = 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

3- تعداد پاره خط های یک نیم خط :

- برای شمارش تعداد پاره خط های این گونه خطوط که یک طرف آن محدود و یک طرف نامحدود، کافی است که بین نقطه ها را شماره گذاری نموده وآن ها را شمارش می کنیم.

مثال:

* راه حل:                          تعداد پاره خط ها                   28 = 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

*****     راه حل دیگر:       تعداد پاره خط ها  =  2  ÷  (  یکی کمتر  ×  تعداد نقطه ها  )   ********

4- تعداد نیم خط های یک خط راست :

- برای محاسبه ی تعداد نیم خط های یک خط از فرمول رو به رو  استفاده می شود.                             تعداد نیم خط ها = 2 × تعداد نقطه ها

مثال :

* راه حل:                                      تعداد نیم خط ها                     14 =  2  ×  7

5- تعداد نیم خط های یک نیم خط:

- برای محاسبه ی تعداد نیم خط های یک نیم خط از فرمول رو به رو  استفاده می شود.                          تعداد نیم خط ها = 1× تعداد نقطه ها

مثال:               

- اگر یکی از نقطه ها روی ابتدا یا انتهای خط قرار داشته باشد،آن گاه به تعداد نقطه ها، نیم خط خواهیم داشت.

* راه حل:                          تعداد نیم خط ها  8 = 1 × 8                               تعداد نیم خط ها = تعداد نقطه ها

6- تعداد نیم خط های یک پاره خط:

- در پاره خط، نیم خط وجود ندارد؛ زیرا از هر دو طرف بسته است. مثال: ( صفر نیم خط) 

=======================================================================================================

*** چند سئوال در مورد پاره خط و نیم خط ***

1- روی نیم خطی 10 نقطه می گذاریم. چند نیم خط و پاره خط درست می شود؟ ( با رسم شکل )

یعنی می شود 11 نقطه

حل: چون نیم خط از یک طرف بسته است، به تعداد نقطه های موجود نیم خط وجود دارد.                                  تعداد نیم خط ها = 11 نیم خط

تعداد پاره خط ها                   55 = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

2- روی پاره خطی 10 نقطه می گذاریم چند نیم خط و پاره خط درست می شود؟ ( با رسم شکل )

 

حل: تعداد نیم خط ها = صفر .       زیرا پاره خط از هر دو طرف بسته است.

تعداد پاره خط ها       66 = 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

3- شکل های زیر دارای چند نیم خط و پاره خط هستند؟

 

 

==============================================================================================================================================================================================================

**** موضوع ( 2 ) : زاویه و انواع آن ****

*- تعریف زاویه : به فضای خالی بین دو نیم خط که دارای رأس مشترک باشند ، زاویه می گویند.

*  روش های نمایش زاویه :   A1و    A      و     A yX

* نیمساز زاویه : نیمساز یک زاویه ، نیم خطی است که آن زاویه را به دو زاویه مساوی تقسیم کند.

                        OX  نیمسازاست.         2O = 1O 

* واحد اندازه گیری زاویه ، درجه نام دارد. و وسیله ی اندازه گیری زاویه نقاله است.

* انواع زاویه :

1- زاویه ی راست ( قائمه ): 90 درجه است.

2- زاویه ی تند ( حاده ): کم تر از 90 درجه است.

3- زاویه ی باز ( منفرجه ): بیش تر از 90 درجه است.

4- زاویه ی نیم صفحه : زاویه ای که اضلاع آن در امتداد یکدیگر باشند. که 180 درجه است.

5- زاویه ی تمام صفحه : زاویه ای که 360 درجه است.

* نکته: تمامی شکل های چهار ضلعی و دایره همگی تمام صفحه اند و دارای 360 درجه اند.

6- دو زاویه متمّم: یعنی دو زاویه که مجموع شان 90 درجه باشد. مانند 30 و 60 درجه.                                                                

* متمم زاویه های زیر چند درجه است؟

( 48 = 42-90 )     48  : 42            ( 11 = 79-90 )    11  : 79            ( 27 = 63-90 )     27  : 63                    ( 78 = 12-90 )           78  : 12

7- دو زاویه مکمل: یعنی دو زاویه که مجموع شان 180 درجه باشد. مانند 40 و 140 درجه.

* مکمل زاویه های زیر را بنویسید.   

                                   

                : 123                   : 69                    : 150                   : 25 باید از180 کم شود

*** چند سئوال در مورد زاویه های متمّم و مکمل ***

1- اگر دو زاویه متمم و اندازه ی یکی 4 برابر دیگری باشد، مکمل زاویه ی کوچک تر چند درجه است؟

مکمل زاویه ی کوچک تر 162 = 18 – 180    *     زاویه ی بزرگ تر 72 = 18 – 90   *    زاویه ی کوچک تر     18 = 5 ÷ 90      *    جمع نسبت  5 = 4 + 1

2- دو زاویه مکمل اند و اندازه ی یکی3 برابر دیگری 20 درجه بیش تر است. اندازه ی آن دو زاویه چند درجه است؟  

زاویه ی بزرگ تر     140 = 20 + ( 3 × 40 ) * زاویه ی کوچک تر       40 = 4 ÷ 160 *        جمع نسبت    4= 3 + 1  *           160 = 20 – 180

3- اختلاف دو زاویه ی مکمل 40 درجه است ، آن دو زاویه را بیابید.

زاویه ی بزرگ تر =  110 = 2 ÷ ( 40 + 180 ) 180 = مجموع

زاویه ی کوچک تر = 70 = 2 ÷ ( 40 – 180 )   40 = اختلاف

4- در شکل مقابل X   را بیابید.

راه حل :               70 = X                 210 = X 3             30 + 180 = X 3                   180 = 30  - X 3                   180 = 30 -  X 2 + X

=======================================================================================================

8- دو زاویه ی مجاور : یعنی دو زاویه که دارای رأس و یک ضلع مشترک باشند و ضلع مشترک بین دو ضلع دیگر قرار داشته باشد.

            در شکل مقابل 1O  و 2O مجاورند

9- دو زاویه ی مجانب: یعنی دو زاویه  که هم مجاور و هم مکمل باشند.

            در شکل مقابل 1O  و 2O مجانب اند

* نکته : زاویه ی بین دو نیمسازهای دو زاویه ی مجاور ، نصف مجموع آن دو زاویه است.

 

* دلیل: زاویه ی مشخص شده در شکل از دو جزء تشکیل شده، که هر جزء نصف یکی از دو زاویه ی اصلی است. پس کل این زاویه نصف مجموع دو زاویه ی اصلی است.

* نکته: نیم ساز های دو زاویه ی مجانب بر هم عمودند.

* دلیل: طبق نکته ی قبل، زاویه ی نیمسازها، نصف مجموع دو زاویه، یعنی نصف 180 درجه ، یعنی 90 درجه است. 

10- دو زاویه ی متقابل به رأس: یعنی دو زاویه که اضلاعشان در امتداد یک دیگر باشد.

* نکته: دو زاویه ی متقابل به رأس همواره مساوی اند. زاویه های 1 و 2  و زاویه های 3 و 4 متقابل به رأس اند و با هم برابرند.

=======================================================================================================

*** سئوال: زاویه های خواسته شده در شکل های زیر محاسبه کنید. ***

 

 

 

 

 

 

 

**** موضوع ( 3 ) : زاویه ی بین عقربه های ساعت شمار و دقیقه شمار ****

* برای به دست آوردن زاویه ی بین عقربه های ساعت شمار و دقیقه شمار ساعت، عدد ساعت را در 30 و عدد دقیقه را در 5/5  ضرب می کنیم و جواب ها را از هم کم می کنیم.

* نکته: اگر حاصل بیش تر از 180 شد، آن را از 360 کم می کنیم.

* نکته : اگر عدد ساعت از 12 بیش تر باشد، 12 واحد از آن کم می کنیم.

مثال: در ساعت های زیر، زاویه ی بین عقربه های ساعت شمار و دقیقه شمار را بیابید.

160 = 110 – 270                              110 = 5/5 × 20                                270 = 30 × 9                                  = 20 و 9 ( الف

105 = 60 – 165                   165 = 5/5 × 30                    60 = 30 × 2                       2 = 12 – 14                          = 30 و 14 (ب

126 = 234 – 360                  234 = 66 – 300                   66 = 5/5 × 12                     300 = 30 × 10                         = 12 و 10 (ج

107 = 253 – 360                  253 = 77 – 330                   77 = 5/5 × 14                     330 = 30 × 11                         = 14 و 11 ( د

     = 10 : 23 (ه

==============================================================================================================================================================================================================

**** موضوع ( 4 ) : شمارش تعداد زاویه های درون یک زاویه *****

* - برای محاسبه ی تعداد زاویه های داخلی یک زاویه، زاویه های درونی آن را شماره گذاری نموده و اعداد آن را با هم جمع می کنیم.

مثال: در زاویه ی رو به رو چند زاویه دیده می شود؟        

تعداد زاویه های داخلی شکل         15 = 5 + 4 + 3 + 2 + 1

 

==============================================================================================================================================================================================================

**** موضوع ( 5 ) : مثلث ****

* مجموع زوایای داخلی هر مثلث 180 درجه است.

* در هر مثلث متساوی الساقین، دو زاویه ی مجاور به ساق مساوی اند.

 

* مثال: در شکل مقابل MB  و M C نیمسازند. اندازه ی زاویه ی M  را حساب  کنید.

 

==============================================================================================================================================================================================================

***** موضوع ( 6 ) : شمارش تعداد زاویه های قائمه در شکل *****

* برای محاسبه ی تعداد زاویه های قائمه ی یک شکل، ابتدا تعداد مربع های کامل آن را شمارش نموده و عدد 4 ضرب می کنیم سپس اگر زاویه های

خارج از شکل وجود داشته باشد آن ها را نیز شمارش می کنیم.

تعداد زاویه های قائمه ی شکل 58= 2 + ( 4 ×14 )

اگر یک خط به گوشه ی این شکل اضافه کنیم می شود                                     59   =58 + 1

***** موضوع ( 7 ) : چند ضلعی ها منتظم **** آزمون 2

* شکل های منتظم : به شکل هایی گفته می شود که، اندازه ی تمامی اضلاع و اندازه ی تمامی زاویه هایشان با هم برابر باشد. با توجّه به این ویژگی ها ، مربّع تنها چهار ضلعی است که منتظم خواهد بود.

 

 

                6 ضلعی منتظم                   5 ضلعی منتظم                        4 ضلعی منتظم ( مربع )             3 ضلعی منتظم ( مثلث متساوی الاضلاع)  

* تعداد خط های تقارن چند ضلعی های منتظم: 

* نکته: چند ضلع های منتظم به تعداد اضلاعشان دارای خطّ تقارن دارند.  بنابر این یک 5 ضلعی منتظم دارای 5 خطّ تقارن است.

* مجموع زاویه های چند ضلعی منتظم و غیر منتظم از فرمول زیر به دست می آید.

مجموع زاویه های چند ضلعی منتظم و غیر منتظم  = 180 × ( 2 –  تعداد اضلاع )

مثال: مجموع زوایای یک هشت ضلعی چند درجه است؟                      1080 = 180 × 6 = 180 × ( 2 –  8 )

* راه حلی دیگر : اگر در شکلی از یک رأس مثلث رسم کنیم سپس تعداد مثلث را در 180 ضرب کنیم اندازه ی زاویه های داخلی به دست می آید.

مثال : مجموع زوایای شش ضلعی رو به رو چند درجه است؟

                                             اندازه ی زاویه های داخلی                                                         

* اندازه ی هر یک از زاویه های چند ضلعی منتظم از فرمول زیر به دست می آید.

140 = 40 –  180 = ( 9 ÷ 360 ) –  180                              اندازه ی یک زاویه چند ضلعی منتظم = ( تعداد اضلاع ÷ 360 ) –  180

* برای به دست آوردن تعداد ضلع های یک چند ضلعی منتظم از فرمول زیر محاسبه می کنیم.

تعداد اضلاع یک چند ضلعی منتظم  = 2 + ( 180 ÷ مجموع زاویه ها )

مثال: مجموع زاویه ی های یک چند ضلعی 900 درجه است. تعداد اضلاع آن را بیابید.                              7 = 2 + 5 = 2 + ( 180 ÷ 900 )

* برای به دست آوردن تعداد قطرهای یک چند ضلعی که از یک رأس می گذرد از فرمول زیر استفاده می شود:

تعداد قطرهای یک چند ضلعی که از یک رأس می گذرد = 3 –   تعداد اضلاع

* مثال: از یک رأس یک 7 ضلعی چند قطر می گذرد؟

تعداد قطرهای یک هفت ضلعی که از یک رأس می گذرد        4 = 3 – 7

* برای به دست آوردن تعداد قطرهای یک چند ضلعی که از همه ی رأس های آن می گذرد از فرمول زیر استفاده می شود:

تعداد قطرهای یک چند ضلعی = 2 ÷ { تعداد ضلع ها × ( 3 –تعداد ضلع ها )}

* مثال: یک شش ضلعی دارای چند قطر است.                                                                 9 = 2 ÷ ( 6 × 3 ) = 2 ÷ { 6 × ( 3 –  6 )}

* نکته: تنها 5 ضلعی منتظم که تعداد اضلاع آن با تعداد قطرها و خطوط تقارن آن برابر است.

* به عبارت دیگر یک 5 ضلعی منتظم 5 قطر و 5 خط تقارن دارد.

* زاویه ی خارجی : در هر شکل، با ادامه دادن هر ضلع، زاویه ای ایجاد می شود که به آن زاویه ی خارجی می گویند. در اشکال زیر زوایای خارجی یک مثلث و یک 5 ضلعی را نشان داده ایم.

* هر زاویه ی خارجی و هر زاویه ی داخلی کنار آن مجانب هستند.

* هر زاویه ی خارجی یک چند ضلعی منتظم مساوی = تعداد اضلاع ÷ 360 می باشد.

* مثال : اندازه ی یک زاویه ی خارجی یک 3 ضلعی، 8 ضلعی،30 ضلعی،45 ضلعی، 900 ضلعی و ... ( شکل های مورد نظر منتظم هستند. )

4/0 = 900 ÷ 360                   8 = 45 ÷ 360                      12 = 30 ÷ 360                     45 = 8 ÷ 360                      120 = 3 ÷ 360

* نکته مهم: مجموع زاویه های خارجی هرچند ضلعی برابر با 360 درجه است. بنابراین مجموع زاویه های خارجی یک 7 ضلعی نیز 360 درجه است.

مثال جالب : فاصله ی نقاط A و B مساوی 5 سانتی متر است. چند نقطه به فاصله 4 سانتی متر از A و 3 سانتی متر از B  قرار دارند؟

حل : نقطه ی مورد نظر روی دایره ای به مرکز A و شعاع 4 شانتی متر و هم چنین روی دایره ای به مرکز B 

و شعاع 3 سانتی متر است. پس محل برخورد این دو دایره می شود محل نقطه ی مورد نظر ، با توجه به شکل ،

دو نقطه به عنوان جواب برای محل نقطه ی مورد نظر پیدا می شود.

==============================================================================================================================================================================================================

***** موضوع ( 8 ) : محاسبه ی اعداد ****

* برای جمع کردن اعداد متوالی از فرمول زیر می توان استفاده کرد.

مجموع اعداد متوالی = 2 : {(1 + تعداد اعداد) × (تعداد اعداد)}

مثال : مجموع اعداد متوالی تا عدد 50 چند می شود؟              1275 = 2 : (51) × (50) = 2 : (1 + 50) × (50)                      

* برای جمع کردن اعداد زوج متوالی از فرمول زیر می توان استفاده کرد.

مجموع اعداد زوج متوالی = (1 + تعداد اعداد زوج) × (تعداد اعداد زوج)

مثال : مجموع اعداد زوج متوالی تا عدد 44 چند می شود؟                    

506 = 23 × 22 = ( 1+ 22 ) × (22)                                   تعداد اعداد زوج          22 = 2 ÷ 44                        

* برای جمع کردن اعداد فرد متوالی اگر آخرین عدد زوج باشد، از فرمول زیر می توان استفاده کرد.  

مجموع اعداد فرد متوالی که آخرین عدد آن زوج = 4 : (تعداد اعداد × تعداد اعداد)

  مثال : مجموع اعداد فرد متوالی تا عدد 60 چند می شود؟                 900 = 4 : (60 × 60 )    

* برای جمع کردن اعداد فرد متوالی اگر آخرین عدد فرد باشد، از فرمول زیر می توان استفاده کرد.

مجموع اعداد فرد متوالی که آخرین عدد آن فرد = (4 : مجموع دو عدد) × (عدد اول + عدد آخر)

مثال : مجموع اعداد فرد متوالی تا عدد 71 چند می شود؟         1296 = (4 : 72) × (1 + 71 )

* برای به دست آوردن عدد بزرگ تر از رابطه ی : عدد بزرگ تر 75 = 2 : ( 30 + 120 )                      2 : (عدد تفاضل + عدد مجموع)

* برای به دست آوردن عدد کوچک تر از رابطه ی : عدد کوچک تر 45 = 2 : ( 30 – 120 )                   2 : (عدد تفاضل – عدد مجموع) 

==============================================================================================================================================================================================================